Варианты развития понятия числа в современных учебниках математики 5-6 классов. Основные вопросы изучения числовых систем. Введение понятия иррационального числа. Действительное число: понятие, изображение на координатной прямой, операции и законы операций. Комплексное число: понятие, изображение на координатной плоскости, операции и законы операций.
Понятие числа является стержневым понятием школьного курса математики и служит фундаментом, на котором строится понятие функции,тождество преобразований, уравнений и неравенств и т.д. Понятие числа относится к основным понятиям математики. Понятие числа возникло в доисторическую эпоху как отражение потребностей человеческой деятельности. Современные учения о числе базируются на арифметике натуральных чисел. Дальнейшее ее развертывание состоит в последовательном расширении множества натуральных чисел:
— логическая схема расширения понятия числа.
Исторически числовые системы назывались не так:
сначала появились натуральные числа, затем 0, затем несложные обыкновенные дроби, положительные десятичные дроби, положительные иррациональные числа, потом отрицательные, потом , и – историческая схема расширения понятия числа..
Источники появления новых чисел.
- Потребности (счета, измерения величин) в практике.
- Внутренние потребности самой математике.
Пример. Отрицательные числа:
1) они появились в результате оперирования с величинами , имеющими противоположное направление усилий (приход-расход).
2) необходимо было решить уравнение , на множестве натуральных чисел это уравнение решений не имеет, для необходимости снятия ограничения для операции вычитания множество N было расширено до множества Z.
В школе натуральные числа и 0 изучают в 1-5 классах, положительные рациональные числа- 5-6 классах, целые числа — 6 классе, полностью Q –- 6-11 классы, иррациональные – 8 кл., положит действительные числа — 8 кл., – 11кл. при углубленном изучении математики.
Принципы расширения понятия числа
Проводя в школьном курсе математики линию развития понятия числа, учитель придерживается принципа расширения множества до множества , который определяется следующими условиями:
1) ;
2) все операции, которые выполняются во множестве , определены и для элементов множества , причем сохраняются все свойства операций;
3) во множестве должна быть выполнима операция, которая во множестве была или не выполнима, или выполнима не всегда (основная цель расширения множеств);
4) расширение множества должно быть минимальным из всех расширений множества , удовлетворяющих требованиям 1) — 3).