Проблема 1. Буквенную символику учащиеся должны усвоить за очень короткий промежуток, а человечество к записи чисел в буквенной форме шло несколько веков.
Идеи по преодолению:
— пропедевтика в 5-6 классах с широкой мотивацией записи словесных формулировок в символической форме, и обратно, символическую запись переводить в словесную. Однако нельзя забывать о соответствии символической записи верному равенству, для этого переводим равенство на условие некоторой задачи;
— усиление мотивации использования букв через решение классов задач (МПИ. Знакомство с алгеброй. Задачи, решаемые с помощью уравнений).
Проблема 2. Формализм в усвоении алгебры, который приводит к математическим ошибкам.
Идеи по предотвращению математических ошибок:
1) усиление роли законов и обоснований:
а) курс алгебры сделать аксиоматическим (основные понятия — операции; аксиомы – законы операций);
б) вывод алгебраических теорем сделать в 2 столбика
|
Преобразования |
Обоснования |
|
|
По определению степени с натуральным показателем Сочетательный закон, определение степени |
2) искать связи в учебном опыте учащихся
в) использование аналогий между алгебраическими и числовыми выражениями;
г) применение геометрических интерпретаций для алгебраических равенств
3) давать учащимся те опоры, которые помогут избежать ошибок
д) работать над анализом структуры выражения (какое выражение дано? какие объекты участвуют? какие операции выполняются? В какой последовательности?)
e) делать промежуточные записи 
.
ж) соединение слова, образа и действия
Проблема 3. Разнообразие обособленных друг от друга тождественных преобразований мешает учащимся увидеть логику алгебры, общность подходов.
Идеи по преодолению:
1) скрытую логику строения алгебры сделать открытой. МПИ показывает как «рождается» каждое новое алгебраическое выражение и констатирует «как только появилось новое выражение, начинаем изучать операции над ними»;
2) использовать схему работы с алгебраическими тождествами (Осн. шк. с.77-78). Нужно помнить:
А) мотивация тождества (удобно через вычисление) и выстраивается его доказательство;
Б) выделение из каждого тождества 2-х формул (справа налево и обратно);
В) изучение формулы по следующим этапам:
1. вид, имя, прочтение, схематическая запись;
2. распознавание или выделение признаков формулы;
3. составление алгоритма применения формулы;
4. применение формулы в стандартных ситуациях;
5. применение формулы в нестандартных ситуациях.
К Общим подходам относятся схемы работы с алгебраическими выражениями (анализ и поиск способа преобразования) и с функциями (схема исследования), схема по каждому виду задач.
Проблема 4. Использование учащимися ошибочных аналогий:
; 
; 
.
Идеи по преодолению.
1) проговаривание правил;
2) использование контр примеров;
3) для тригонометрических выражений важно показать происхождение тригонометрических функций с позиции отвлеченности. К введению тригонометрической функции подходят от задачи, связанной с нахождением стороны треугольника по острому углу и другой стороне. В геометрии есть единственная зависимость между углами и сторонами (против большей стороны – больший угол), но в математике зависимость предполагает некое равенство. Таким образом, нам нужно равенство, которое позволит найти сторону треугольника через другую сторону и угол.
 |
— новая запись некоторого действительного числа.