Опираясь на знания учащихся, а также на наглядные представления, развиваемые с помощью рассмотрения нескольких графиков функций, можно подвести учащихся к установлению и обоснованию правила для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Остановимся на описании подхода, при котором это правило формулируется для функций, непрерывных на отрезке и имеющих на нем лишь конечное число критических точек [24]. При другом подходе это правило формулируется для более узкого класса функций — для функций, непрерывных на отрезке и дифференцируемых внутри него [23].
Если класс не отличается достаточно хорошей математической подготовкой, то сначала следует обратить внимание на тот факт, что функция, монотонная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значения на его концах. Для этого можно использовать графики монотонных функций.
Далее перед учащимися целесообразно поставить задачу отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, заданной графиком на рисунке 68. Эта функция не является монотонной на отрезке [А; B], но легко заметить, что рассматриваемый отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция F монотонна. Из этого следует, что наибольшее и наименьшее
Значения функции F на отрезке [А; B] содержатся среди ее значений на концах указанных отрезков, т. е. в данном случае среди чисел: F(А), F(X1),F(X2), F(Хз), F(B). Поскольку F(X1),F(X2), F(Хз), являются экстремумами функции F, то отыскание ее наибольшего и наименьшего значений на отрезке [А; B] можно свести к отысканию наибольшего и наименьшего значений среди принимаемых этой функцией на концах отрезка [А; B] и в точках экстремума.
Подчеркнув, что учащимся уже известно, как с помощью производной могут быть найдены точки экстремума функции, и то, что все эти точки содержатся среди критических точек функции, учитель должен указать, что при отыскании наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке часто бывает более целесообразным (по затрачиваемому времени) не выяснять, какие из критических точек функции являются точками экстремума, а рассмотреть значения, принимаемые функцией на концах этого отрезка и в критических точках, лежащих внутри него, и выбрать из них наибольшее и наименьшее.