Одним из важных приложений производной является использование ее при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. Такие задачи возникают там, где необходимо выяснить, как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и т. п. Умение решать такие задачи приобретает особую значимость в связи с решением проблемы повышения эффективности и качества во всех сферах сродного хозяйства.
На использовании производной основан достаточно универсальный метод решения таких задач. Программа по математике предусматривает знакомство старшеклассников с этим методом и формирование у них умений применять его к решению задач.
Задачи этого типа имеют четкую прикладную направленность "’если не по фабуле, то в любом случае по подходу к решению — в них все фазы построения и использования математической модели — формализация, решение формализованной задачи, интерпрета-ция — получают соответствующую реализацию: составление функции, описывающей условие задачи, в результате чего осуществляется переход от содержательной задачи к математической задаче нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором промежутке; решение этой математической задачи с использованием производной; придание полученному результату соответствующего содержательного смысла.
В письменный экзамен по математике за курс средней школы ежегодно (с 1977 г.) включается задача такого характера; это достаточно красноречиво свидетельствует о том, что формирование умений решать такие задачи является в настоящее время одной из важных целей изучения математики в средней школе.
Какую же работу следует проводить учителю в плане обучения старшеклассников указанному методу решения задач? Прежде всего следует познакомить их с тем, как с помощью производной можно находить наибольшее и наименьшее значения функции на различных промежутках.
Заметим, что использование производной позволяет найти такие значения либо сделать вывод об их отсутствии для любой непрерывной на рассматриваемом промежутке функции, имеющей на этом промежутке лишь конечное число точек, в которых производная либо не существует, либо равна нулю (т. е. конечное число критических точек). Такое исследование для любых промежутков можно осуществить на основе предварительного исследования функции на монотонность и экстремумы на соответствующем промежутке, которое проводится с помощью производной. Без предварительного исследования функции на монотонность и экстремумы нельзя обойтись в тех случаях, когда отыскивается наибольшее или наименьшее значение функции на бесконечном промежутке; в других случаях (отрезок, интервал, полуинтервал) можно обойтись и без него, если пользоваться правилом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, что нередко приводит к более простому решению.
Работа может быть начата с постановки задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и обоснования соответствующего правила.
Подчеркнем, что только для функции, непрерывной на отрезке и отличной от постоянной, гарантировано (теоремой Вейерштрасса) существование наибольшего и существование наименьшего среди всех ее значений, принимаемых на этом отрезке. Для других видов промежутков такой гарантии нет.