Определение. Два Уравнения (неравенства) F(x1,…,xn)=0 и G(x1,…,xn)=0 (<0) называются равносильными на множестве M 
Rn, если множества их решений, принадлежащих М совпадают.
Рассматривается равносильность уравнений, неравенств с одной, двумя переменными.
Определение. Переход от уравнения F(x1,x2)=0 к равносильному уравнению G(x1,x2)=0 на М называется равносильным преобразованием уравнений на множестве М.
Проблема. Множества решений уравнения F(x1,x2)=0 и уравнения G(x1,x2)=0 неизвестны и говорить о равносильности уравнений до решения каждого из них нельзя. Решение каждого уравнения может быть осуществлено только с помощью равносильных преобразований. Решение в теории уравнений, неравенств, систем доказывается ряд теорем, фиксирующих равносильность уравнений, неравенств, систем.
Примеры.
1. Уравнения F(x)=H(x) уравнение F(x)+G(x)=H(x)+G(x) равносильным.
2. Неравенство F(x)<H(x) равносильно неравенству F(x)G(x)<H(x)G(x) на множестве всех значений переменной, для которых G(x)>0 и равносильно неравенству F(x)G(x)>H(x)G(x) на множестве {x|G(x)<0}/
3. Система уравнений F X,Y=0G(x, y)=0 
равносильно системе F x, y=0F x, y+G x, y=0 
Принципиальным в теории равносильных преобразований выступает следующий факт использования тождественных преобразований выражений в качестве равносильных преобразований уравнений, неравенств, систем.
Теорема. Пусть выражение f(x1,x2) входит в уравнение F(x1,x2)=0 и f(x1,x2)≡ g(x1,x2) тогда уравнение G(x1,x2)=0, полученное из уравнения F(x1,x2)=0 заменой f(x1,x2) на тождественно равное выражение g(x1,x2), равносильно исходному.
В результате Все типы тождественных преобразований выражений приводят к совокупности равносильных преобразований уравнений, неравенств, систем – равносильных преобразований, основанных на тождествах.
Равносильностями основанными на тождествах, не исчерпывается весь спектр равносильных преобразований:
— в классе линейных, квадратных уравнений равносильными преобразованиями является перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, умножение обеих частей уравнения на ненулевое число;
— в классе рациональных уравнений основную роль играет равносильность уравнения F(X)G(x)=0 и уравнение F X=0 на множестве {X|G(X)≠0} 