Пути введения определения «производная»

В учебнике Виленкина Н. Я., Мордковича А. Г. и др. Алгебра и начала анализа предлагается следующая схема введения опреде­ления производной.

Определение. Функция f называется дифференцируемой в точке а, если ее приращение при переходе от а к а + h можно записать в виде f (а + h) — f (а) = (k + α )h, где k — число (зависящее от а) , а α — функция, бесконечно малая при h 0.

Пусть функция дифференцируема на промежутке X. Тогда для каждой точки х Х приращение функции f при переходе от х к x+h можно записать в виде

F(х + h)-f(x) = (k + α )h, (1)

Wide Image

Где k — число, зависящее от х, а α — функция, бесконечно малая при h 0. Для каждой точки х вычисляется свое значение k. Этим определяется новая функция, заданная на промежутке X, которая каждому х Х ставит в соответствие значение коэффициента k в точке х. Эту функцию называют производной функции f и обозна­чают f’’. Таким образом,

K = f’'(x), и потому формулу (1) можно переписать:

F(х + h)-f(x) = (f’(x) + α )h,

Откуда

F’(x) + α= (2)

По определению предела функции в точке это означает, что

(3)

Верно и обратное: из (3) следует (2) и (1). Отсюда следует, что определение производной можно сформулировать следующим обра­зом: «Производной функции f называют новую функцию f’, значение которой в точке х определяется формулой ».

Следует иметь в виду и еще один способ введения определения производной функции, основанный на идее линейной аппроксимации функции в окрестности данной точки.

Wide Image