Применение производной к решению задач на наибольшие и наименьшие значения — Часть 5

Вызывают у учащихся затруднения и те задачи, при решении которых приходится вводить несколько переменных величин. Сле­дует пояснить, что в этих случаях конечная цель та же самая — выразить величину, о наибольшем или наименьшем значении кото­рой говорится, как функцию только одной из введенных пере­менных. Приведем пример решения задачи такого типа.

Задача 2. Из куска проволоки длиной 30 см изготовлен пря­моугольный треугольник, имеющий наибольшую площадь. Какова эта площадь?

Решение. I. Выразим площадь прямоугольного треугольника как функцию одного из его острых углов, который обозначим через . Очевидно, что . Учитывая, что

А = С sin , B = С соs (где А и B — катеты, а С — гипотенуза этого треугольника) и что А+B+С = 30, получим C(sin +cos +1)=30, откуда и тогда

, , .

Задача сведена к нахождению наибольшего значения функции S (А) на интервале .

II. Найдем наибольшее значение функции S (А) на интервале. Можно найти наибольшее значение функции S (А) на отрезке :

В рассматриваемый интервал попадает лишь одна критическая точка . Имеем: S (0) = 0; S ( ) 40; S( )=0. Наибольшее значение функции S (А) на отрезке