Заметим, что многие практические задачи приводят к необходимости отыскания наибольшего или наименьшего значения функции не на отрезке, а на интервале или полуинтервале. Фактически к отысканию наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке могут привести лишь те задачи, в условии которых содержатся дополнительные ограничения.
Поясним сказанное примером.
Задача 1. Из квадратного листа жести со стороной 6 дм требуется изготовить открытый сверху резервуар для хранения жидкости, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого вырезают по углам листа равные квадраты и загибают образовавшиеся края. Какой наибольшей вместимости можно изготовить резервуар?
Если обозначить через Х Высоту резервуара, выраженную в дециметрах, то решение задачи можно свести к нахождению наибольшего значения функции V (Х) = 4Х(3 — Х)2 на интервале (0; 3).
Включение дополнительных ограничений в условие задачи, например требования, чтобы высота резервуара была не менее 5 см и не более 20 см, приводит к отысканию наибольшего значения той же функции на отрезке [0,5; 2].
С такой (дополненной) задачи и следует начать рассмотрение, а затем включить в рассмотрение задачи, приводящие к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции на интервале и полуинтервале. В ходе решения таких задач учащимся следует пояснить, что если функция непрерывна на концах соответствующего отрезка, то по известному правилу можно найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке, и потом сделать вывод для решаемой задачи. Для абсолютного большинства таких задач искомое наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри рассматриваемого отрезка, а, следовательно, и внутри соответствующего интервала или полуинтервала.
При решении текстовых задач наиболее трудным для учащихся является этап формализации, т. е. переход от содержательной задачи к математической задаче нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на промежутке.
Здесь, исходя из условия задачи, производится:
1) выбор аргумента, т е. выбор и фиксация одной из переменных величин как независимой переменной;
2) выражение величины, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь в задаче, как некоторой функции выбранного аргумента;
3) нахождение промежутка изменения аргумента.
На первых порах не следует включать в рассмотрение текстовые задачи, приводящие к составлению функции, содержащей параметры (это встречается во многих примерах, разобранных в учебниках [23], [24], [27]), так как могут возникнуть дополнительные трудности, ведь учащиеся ранее не сталкивались с отысканием наибольшего и наименьшего значений функций, содержащих параметры, на отрезке, координаты концов которого также содержат параметры.