Задачи на вычисление объемов обычно более громоздки, чем задачи на вычисление площадей, но в основе их решения лежит та же идея, поэтому ученики усваивают их тем легче, чем основательнее они изучали раздел «Площади».
Подобно тому, как в предыдущем разделе мы не касались вопроса об определении площади и ее существовании, здесь будем исходить из того, что объем рассматриваемого тела существует и мы ищем способ его вычисления. Не будем также излагать те разделы темы «Объемы тел», которые предшествуют применению интеграла. В нашем варианте изложения понадобится знание формулы для объема прямого цилиндра с произвольным основанием (имеющим площадь). Эту формулу V=SН, где S — площадь основания, H — высота, V — объем, можно дать без доказательства, ссылаясь на то, что ее частные случаи для прямого параллелепипеда, прямой призмы с произвольным основанием, прямого кругового цилиндра ранее получены.
Поставим задачу вычислить объем тела, у которого известна площадь любого сечения, перпендикулярного некоторой оси х. Пусть тело располагается при этом между плоскостями, перпендикулярными оси и проведенными через точки а и b на ней. Обозначим площадь сечения S и будем рассматривать только случай, когда функция S (х) (площадь сечения, проведенного через точку x:) непрерывна на [а; Ь]. Наряду с этой функцией будем рассматривать функцию V=V(х), где V (х) — объем части тела, отсекаемой плоскостью, проведенной через точку х на оси х.
Получим формулу 
, где 
.
Формулу можно применить для вычисления объемов большинства тел, которые изучаются в курсе геометрии (пирамида, конус, шар), и для решения задач на вычисление объемов тел, полученных вращением вокруг оси х графика функции у = f (х). Выбор задач ограничивается только запасом формул интегрирования, который имеется в распоряжении учащихся.