Тема “Уравнения и неравенства” является одной из самых основных тем школьного курса математики. Она имеет большое внутрипредметное и межпредметное значение. Внутрипредметные связи: тема связана с темой “Функции” и темой “Тождественные преобразования”. Межпредметные связи: тема широко используется в физике и химии. Основная задача темы – освоить способы решения различных видов уравнений и неравенств.
Основными понятиями темы являются:
- уравнение, неравенство;
- корень уравнения, решение неравенства;
- равносильность уравнений, равносильность неравенств.
Понятие уравнение рассматривается дважды: в 5 классе, как равенство, содержащее неизвестное, (здесь понятие вводится конкретно-индуктивным методом через решение задачи, используя картинку с весами) и в 7 классе, где вводится уже точное определение уравнения: уравнение – это равенство, содержащее переменную. Здесь же вводятся понятия “корень уравнения” и “решить уравнение”. В 7 классе вводится и понятие “равносильные уравнения”, формулируются теоремы о равносильных преобразованиях. Эти теоремы формулируются в виде свойств, они не доказываются, а поясняются на примерах.
С числовыми неравенствами 2<4, 7>5 учащиеся знакомятся в начальной школе. В 5 классе вводится двойное неравенство: 1<2<4. После изучения буквенных выражений появляются неравенства, содержащие переменную. Никаких операций над неравенствами в 5 классе не производится. Здесь выполняются упражнения трех видов: проверит истинность неравенства, установить, какие числа являются решением неравенства и сравнит числовое значение выражений с помощью знака неравенства.
Систематическое изучение неравенств начинается только в 8 классе. Понятие “неравенство” лучше давать на основе сравнения с понятием “уравнение”. Из списка, записанного на доске, попросить учащихся назвать уравнения. Учащиеся вспоминают определение этого понятия, после чего из списка удаляются все уравнения. Далее просим учащихся выбрать числовые неравенства и после этого неравенства, содержащие переменную. После этого даем определение: запись, в которой два выражения, содержащие переменную, соединены знаками <, >, ?, ? называется неравенством.
Понятие “решение неравенства” удобно вводить по аналогии с понятием “корень уравнения”.
| 5x – 4 = 11
Является ли число 3 корнем уравнения? Почему? Добиться полной формулировки ответа: число 3 является корнем уравнения, т.к. при этом значении переменной уравнение обращается в верное равенство. |
5x – 4 > 11
Обращает ли число 4 данное неравенство в верное числовое неравенство? Да. Кто сможет дать определение, что называется решением неравенства? Решением неравенства называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Далее решаются номера на усвоение. |
А можно ли указать все решения неравенства? Встает вопрос, как изобразить все решения неравенства? Учитель сообщает, что оказывается, решения неравенства изображаются на координатной прямой, а ответ записывается с помощью числовых прямых. После этого необходимо рассмотреть всевозможные случаи неравенств и их решений.
При обучении решению любого вида уравнений и неравенств строго соблюдается методика формирования математических умений. Например, в 5 классе решаются линейные уравнения, которые содержат переменную только в одной части. Записывается на доске уравнение: 52 + (3x – 14) = 62. Что представляет собой левая часть уравнения? Сумма. Назовите слагаемые. Какое слагаемое известно? В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти неизвестное слагаемое? 3x – 14 = 10. Что представляет собой левая часть уравнения? Разность. В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти уменьшаемое? 3x = 24. Что представляет собой левая часть уравнения? Произведение. Назовите множители. Какой множитель известен? В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти неизвестный множитель? x = 8. Как проверить, что число 8 является корнем уравнения? 52 + (3 ? 8 – 14) = 62 ? 62 = 62. После этого составляем и записываем в тетрадь правило решения таких уравнений:
- определяем вид уравнения по последнему действию;
- определить, что неизвестно и найти неизвестное по соответствующему правилу;
- в случае необходимости, повторит шаги 1 – 2;
- найти корень уравнения;
- выполнить проверку;
- записать ответ.
Учитель показывает образец решения на доске. После этого переходим к решению упражнений на отработку каждого шага правила.
Методические основы решения уравнений:
- определяем условия, когда уравнения не имеет решения;
- выделяем промежуток, на котором уравнение имеет единственное решение, словесно описываем решение уравнения, вводим символическую запись решения уравнения на этом промежутке;
- другие решения уравнения, если они есть, выражаем через это решение и записываем все решения данного уравнения.