Доказательство теоремы – процесс установления связи условия теоремы и её заключения. Доказательство – это цепочка предложений о математических объектах, включенных в теорему, каждое из предложений либо фиксирует ранее установленный математический факт, выполненное преобразование, либо вытекает из предыдущих по определенному логическому правилу вывода.
В доказательстве теоремы также выделяются содержательная часть и логическая. Содержательная фиксирует математические объекты, используемые в теореме, математические понятия, факты, проводимые преобразования объектов. Многие из предложений содержательной части сопровождаются выполнением учащимися определенных действий, преобразований, имеют наглядный характер.
Однако доказательство обязательно предполагает построение умозаключений – вывода новых предложений из совокупности предыдущих по определенному правилу логического вывода — т.е. логическую сторону.
В качестве наиболее часто встречающихся правил вывода в математических доказательств выступают
- — правило заключения
- — правило отрицания
- — правило силлогизма
- — правило контропозации
- — введение конъюнкции
- — удаление конъюнкции
Ни одно из правил вывода явно учащимися не задано, его усвоение осуществляется на интуитивном уровне в содержании конкретного вывода.
Пример. Если треугольник АВС равнобедренный, то медиана треугольника совпадает с высотой. В треугольнике АВС его медиана не совпадает с высотой. Значит, треугольник АВС не равнобедренный (правило отрицания).
5. На начальном этапе доказательства учащемуся не заданы ни предложения содержательного плана, ни процедуры построения умозаключений, ни тот план их чередования, который приводит к справедливости заключений для теоремы.
Сложность построения последовательности предложений доказательства теоремы обосновывает важность в методике обучения математике термина «обучение доказательствам».
З.И. Слепкань под обучением доказательствам понимает обучение учащихся готовым доказательствам, предлагаемым учителем или учебником и обучение самостоятельному поиску доказательства.
Г.И. Саранцев под обучением доказательству понимает обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску и конструированию доказательств, а также опровержению готовых доказательств.
Воспроизведение доказательства, как один из важнейших этапов обучения доказательству содержит в себе ряд важных моментов:
- осмысление исходных данных и требований теоремы;
- осмысление основной идеи и системы развертывания доказательства;
- понимание метода, которым осуществляется доказательство;
- выделение основных этапов доказательства.
В методике обучения доказательству значительное внимание уделяется формированию структуры доказательства: выделять основную идею, раскрывать метод доказательства, давать краткую его схему, фиксировать ссылки на используемые факты, описывать дополнительные построения и преобразования.
Не менее значимую роль в обучении доказательству играют и последующие этапы: конструирования доказательства по аналогии, по указанной структуре, по указанному методу, по указанной идее.
В психологии обучения установлено, что обучение доказательству, его успешность в значительной степени определяется сформированностью у учащихся определенных структур мышления: анализа, синтеза, абстрагирования, обобщения, аналогии. Этот факт требует целенаправленного использования учащимися каждой из логических операций в процессе доказательства.