Математика в своем развитии от Евклида до современности представляет совокупность абстрактных теорий, состоящих из предложений, в которых фиксируются общие свойства определенной совокупности математических объектов. Справедливость свойств устанавливается не эмпирически, а в процессе доказательств (логических рассуждений).
Математические предложения, их абстрактные доказательства составляют содержание математики как дедуктивной теории.
Школьный курс математики не выступает в качестве математической теории, её определенной части, однако содержание математики, как теории, выступает средой, средством и методом обучения учащихся.
В этой связи изучение теорем, их доказательство, методы доказательств выступают одной из важных задач школьного курса математики.
В рамках школьного курса математики теорема – предложение о свойстве определенного класса математических объектов, устанавливаемом в цепочке абстрактных рассуждений, связанных правилами логического вывода.
Ключевые термины – теорема, доказательство, методы доказательства, правила вывода. Их обобщенность настолько велика, что за формулировкой, доказательством учащиеся не всегда усматривают конкретное логическое содержание теоремы.
Задача формирования теорем, доказательства является в методике обучения одной из важнейших и до конца не решенных.
Выделим содержательные, структурные (логические) и процессуальные компоненты теорем, которые необходимо формировать учителю в учебном процессе.
1. Теорема – доказуемое предложение о свойствах определенного класса математических объектов(треугольников, пирамид, функций, движений и т.д.).
Теорема в процессе доказательства основывается на определениях ранее введенных объектов и на предыдущих теоремах. Сведение теоремы к предыдущим фактам теории приводит к системе неопределяемых терминов теории и системе аксиом – базовых предложений теории.
В теореме выделяются две взаимосвязанных стороны – её формулировка и её доказательство.
2. Формулировка теоремы имеет содержательную и логическую компоненты. Содержательная компонента определяется конкретной совокупностью математических объектов, их свойством, которое требуется установить в логических рассуждениях.
Логическая компонента определяется системой логических операций, связывающих понятия данного класса объектов.
Пример. Квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов.
Содержательная компонента: класс прямоугольных треугольников, гипотенузы, катеты прямоугольных треугольников, свойство зависимости длин катетов и гипотенузы.
Логическая компонента: , где А – высказывание «треугольник АВС является прямоугольным; В – «в треугольнике угол С является прямым»; С – «для стороны с против угла С и сторон а и b справедливо равенство ».
Содержательная сторона представляется учащимися через схемы, чертежи, графики эмпирически, наглядно. Логическая сторона, играющая ключевую роль в доказательстве, поддается фиксации учащимися только в процессе целенаправленной работы.
Не всякая теория ШКМ формируется средствами алгебры высказывания, часть теорем свою структуру выражают в алгебре предикатов – через переменные, кванторы общности, существования.