В общенаучном плане понятие – мысленный образ класса объектов, процесса, отношения.
Математические понятия – число, функция, геометрическая фигура, движение, подобие, уравнение, тождество…
Важность математических понятий:
— в системе понятий раскрывается целостная математическая деятельность (теория, теорема, свойство);
— математическая мысль фиксируется через понятие;
— индивидуальное мышление учащегося формируется в той мере, в какой осуществляется становление системы понятий;
— в процедуре становления понятия в деятельности учащегося формируются логические операции сравнения, анализа, синтеза, обобщения, абстрагирования, классификации, систематизации.
Вывод: в формировании математического мышления роль понятий первостепенная.
В.В.Давыдов: «Формирование у детей обобщений и понятий считается одной из главных целей школьного преподавания».
Н.Ф.Талызина: «Формирование понятия предполагает: а) формирование системы операций по установлению необходимых и достаточных признаков понятий; б) усвоение общелогической системы операций по подведению объектов под понятие, по получению следствий из принадлежности объекта понятию. Операционная сторона и составляет психологический механизм понятия».
В наиболее общем случае процесс формирования понятий у учащихся осуществляется по схеме: предметы и связанные с ними ощущения ? восприятие ? представление ? понятие ? определение ? систематизация и классификация.
Приведённая схема весьма абстрактна и требует дальнейшего уточнения, детализации.
а) понятие связано:
— с классами объектов, которые оно охватывает;
— с перечнем тех свойств, которыми обладают объекты данного класса.
Класс объектов, охватываемый понятием – объём понятия. Совокупность свойств, которыми обладают объекты класса – содержание понятия.
Пример. Понятие функции – его объём охватывается перечнем всех подклассов функций школьного курса алгебры и начала анализа, его содержанием выступает совокупность свойств (свойства функциональности, бинарное отношение, область определения и множества значений, монотонность, периодичность, точки максимума и минимума и т.д.).
В содержании понятия (совокупность свойств класса) различаются существенные (необходимые) и несущественные свойства. Существенное – такое необходимое свойство, которым обладают все объекты данного класса. Несущественное – такое свойство, которым одни объекты класса обладают, другие – не обладают.