Математические основы введения понятий школьного курса алгебры

Основа 1. Результат выполнения алгебраической операции над известными выражениями приводит к новому алгебраическому выражению.

Старое выражение	Операция	Новое выражение
Буква а или число 2	Умножение	Степень с натуральным показателем
Степень с натуральным показателем ,	Умножение	Одночлен
Неподобные одночлены	Сумма	Многочлен
Многочлен	Деление	Алгебраическая дробь
Рациональное выражение	Обратная возведению в натуральную степень	Иррациональное выражение

Основа 2. Соблюдение правила: новое понятие должно подчиняться новым законам.

Понятие	Законы, свойства	Демонстрация
	, распространяем на случай
,
(степень с дробно рациональным показателем)		, значит, — число, — я степень которого равна

Основа 3. Решение уравнений. Суть:

1) определяем условия, когда уравнение не имеет решения.

2) выделяем промежуток, на котором уравнение имеет единственное решение; словесно описываем решение уравнения; вводим символическую запись решения уравнения на этом промежутке;

3) другие решения (если есть) выражают через это решение и записывают все решения данного уравнения.

Уравнение	Реализация 1)-3)	Понятие
	1) уравнение не имеет решения, если ; 2) на промежутке уравнение имеет единственное решение ; 3) .	Арифметический квадратный корень
	— четное -||- — нечетное Уравнение всегда имеет решение	— арифметический корень — й степени .
	1) ; 2) уравнение всегда имеет единственное решение при ,	Логарифм числа по основанию ,

Основа 4. Развитие представлений о геометрических понятиях с использованием координатной плоскости

1. Геометрическое понятие для острого угла прямоугольного треугольника.

Исторически задача, связанная с вычислением стороны прямоугольного треугольника по острому углу и известной стороне, возникла из задачи о нахождении расстояния до звезды.

Книга: Шмулевич П. Прямолинейная тригонометрия и ее приложение, 1928.

2. Распространение этих понятий для угла от 0 до (Ст. шк. с.76).

Аналогично для любого угла.