Математические основы введения понятий школьного курса алгебры

Основа 1. Результат выполнения алгебраической операции над известными выражениями приводит к новому алгебраическому выражению.

Старое выражение

Операция

Новое выражение

Буква а или число 2

Умножение

Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем ,

Умножение

Одночлен

Неподобные одночлены

Сумма

Многочлен

Многочлен

Деление

Алгебраическая дробь

Рациональное выражение

Обратная возведению в натуральную степень

Иррациональное выражение

Основа 2. Соблюдение правила: новое понятие должно подчиняться новым законам.

Понятие

Законы, свойства

Демонстрация

, распространяем на случай

,

(степень с дробно рациональным показателем)

, значит, — число, — я степень которого равна

Основа 3. Решение уравнений. Суть:

Wide Image

1) определяем условия, когда уравнение не имеет решения.

2) выделяем промежуток, на котором уравнение имеет единственное решение; словесно описываем решение уравнения; вводим символическую запись решения уравнения на этом промежутке;

3) другие решения (если есть) выражают через это решение и записывают все решения данного уравнения.

Уравнение

Реализация 1)-3)

Понятие

1) уравнение не имеет решения, если ;

2) на промежутке уравнение имеет единственное решение ;

3) .

Арифметический квадратный корень

— четное

-||-

— нечетное

Уравнение всегда имеет решение

— арифметический корень — й степени

.

1) ;

2) уравнение всегда имеет единственное решение при ,

Логарифм числа по основанию ,

Основа 4. Развитие представлений о геометрических понятиях с использованием координатной плоскости

1. Геометрическое понятие для острого угла прямоугольного треугольника.

Исторически задача, связанная с вычислением стороны прямоугольного треугольника по острому углу и известной стороне, возникла из задачи о нахождении расстояния до звезды.

Книга: Шмулевич П. Прямолинейная тригонометрия и ее приложение, 1928.

2. Распространение этих понятий для угла от 0 до (Ст. шк. с.76).

Аналогично для любого угла.

Wide Image