Выделенные основания для изучения первообразной и интеграла в общеобразовательной школе Реализуют задачу общекультурного развития учащихся и прикладную задачу вычисления площадей плоских фигур и объемов тел.
Существуют значительные различия между изучением первообразной и интегралов в строгом научном курсе математического анализа и различными авторскими трактовками введения первообразной и интеграла в содержании общеобразовательной математической подготовки учащихся.
В вузовском курсе неопределенный интеграл вводится в условиях предельного перехода в вычислении верхней и нижней сумм Дарбу. Определенный интеграл через предельный переход в исследовании интеграла с переменным верхним (нижним) пределом. Но предельные переходы учащимися не изучаются ни в дифференцировании, ни в интегрировании, следовательно строгие математические рассуждения с учащимися невозможны ни в содержательном плане, ни во временном.
В силу указанных ограничений изучение первообразной и интеграла основано на двух закономерностях:
ü Введение аппарата вычислений, преобразований первообразных на базе свойств и правил вычисления производной (оператор интегрирования на базе оператора дифференцирования).
ü Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона-Лейбница как наглядная основа установления связи первообразной и определенного интеграла.
Задача общекультурного развития учащихся и задача прикладной направленности в теме: «Первообразная и интеграл» с учетом выделенных закономерностей реализуется в следующей системе методических целей:
1. Введение и аналоговое исследование свойств первообразных функции в плане элементарных функций
2. Введение понятия определенного интеграла на наглядной функционально-графической основе
3. установление взаимной связи первообразной функции и определенного интеграла в формуле Ньютона – Лейбница
4. применение определенного интеграла и вычисление площади криволинейной трапеции, объема тел вращения
1) Формирование понятия первообразной осуществляется на базе оператора дифференцирования:
A) В таблице аналитических представлений функций и их производных
