Г) Функционально-графическое представление отношения приращений функции и аргумента из равенства позволяет получить уравнение касательной к графику функции в точке
Д) Фактически установленных функционально-графических представлений, операторных правил дифференцирования, геометрического представления касательной и ее уравнения оказывается достаточным для исследования прикладных аспектов производной.
Приложения производной к исследованию функции и в задачах динамики материальной точки выступают главной целью введения производной, подчеркивания ее общекультурного характера в математическом образовании учащихся.
Приложения производной к исследованию функций и в задачах физики уже не различаются использованием предельных переходов, обладают общими закономерностями в авторских трактовках и основаны на двух фактах:
— геометрический смысл производной;
— физический смысл производной.
Геометрический смысл производной устанавливается на основе функционально-графических представлений и формального определения производной: Значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .
Выделенная геометрическая закономерность производной позволяет установить два важнейших свойства функции:
— если производная функции на промежутке принимает положительные значения, то на этом промежутке функция возрастает; если принимает отрицательные значения на промежутке , то на этом промежутке функция убывает.