В историческом плане уравнения, как и геометрические фигуры, являются одним из первых математических объектов. Возникновение и развитие уравнений в математике обосновано их следующими основными функциями:
— уравнения возникают и исследуются как математические модели ситуаций, когда по совокупности значений косвенных величин нужно найти неизвестную величину;
— уравнения (специальные классы уравнений и уравнения на множестве) являются самостоятельным математическим объектом, давшим название целым разделам математики (алгебра как наука до 19 века), глубоким теориям (разрешимости в радикалах, основная теорема алгебры);
— в аналитической геометрии линии, поверхности задаются уравнениями, все точки которых являются решениями уравнения, при этом исследование линий поверхностей сводится к исследованию соответствующих уравнений;
— аналитическая запись законов физики (силы тяжести, упругости, равноускоренного движения, периода колебания маятника) в ситуации, когда известны некоторые из их характеристик, имеет вид уравнения, где неизвестной может быть любая из характеристик;
— дифференциальные уравнения выступают чрезвычайно важным в математике классом уравнений, в которых по взаимной связи первой, второй и других производных определяется вид функции в качестве решения.
Непосредственную связь с содержанием общеобразовательного курса алгебры и начал анализа имеют следующие этапы развития уравнений в математике:
— решение конкретных сюжетных задач с уравнениями в качестве моделей;
— теория исследования квадратных уравнений;
— решение уравнений 3 и 4 степени в радикалах;
— неразрешимость уравнений выше 4ой степени в квадратных радикалах;
— теория разрешимости уравнений в квадратных радикалах;
— основная теорема алгебры о разрешимости уравнений n-ой степени над С.
В математическом плане в классе уравнений, неравенств, систем общеобразовательного курса формируется следующая система понятий:
— понятия уравнения, неравенства, системы уравнений;
— понятие решения уравнения, неравенства, системы уравнений;
понятие равносильности, следования в классах уравнений, неравенств, систем уравнений;
— понятия определенных классов уравнений, неравенств, систем уравнений (линейных, квадратных рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических), связанных с соответствующим классом функций.
С точки зрения математики, уравнение – предикат, содержащий равенство, для которого стоит задача поиска его области истинности. Неравенство – предикат, содержащий знак «>», для которого необходимо найти область истинности. Система уравнений – конъюнкция предикатов равенства, для которой стоит задача поиска области истинности.
На уровне общеобразовательной школы в понятии уравнения важно фиксировать три его признака:
— это предложение с переменной, содержащее знак «=»;
— поставлена задача поиска всех его решений;
— поиск решений осуществляется на конкретном числовом множестве.
Неравенство с переменной характеризуется теми же тремя признаками:
— — это предложение с переменной, содержащее знак «>»;
— поставлена задача поиска всех его решений;
— поиск решений осуществляется на конкретном числовом множестве.
В определении системы уравнений признаки системы аналогичны:
— это совокупность предложений с переменными, содержащих знак «=»;
— поставлена задача поиска всех общих решений каждого из уравнений;
— поиск решений системы осуществляется на конкретном числовом множестве.