Понятие «число», «уравнение», «функция» являются основными понятиями школьного курса математики. Поскольку уравнения, функции рассматриваются на множестве чисел, то понятие числа – основное математическое понятие математики, алгебры, алгебры и начал анализа.
Многогранное исследование числовых множеств, их свойств с 1 по 11 класс изучения математики в теории и методике обучения математике оформлено в виде отдельной содержательно-методической линии – линии развития числа.
Основные числовые множества изучаемые в математике общеобразовательной школы:
— ? – множество натуральных чисел.
— Z – множество целых чисел.
— Q – множество рациональных чисел.
— R – множество действительных чисел.
В углубленном изучении математики:
— C– множество комплексных чисел.
Все числовые множества связаны отношением включения.
В этой связи понятие числа на разных этапах обучения в математике расширяется, поглощая предыдущие представления учащихся:
— в 5 классе число – это и натуральное число и обыкновенная дробь, и десятичная дробь;
— в 6 классе число – это и натуральное число и целое, и рациональное число;
— в 7 классе число – это натуральное, целое, рациональное число, которые играют ключевые роли в уравнениях, неравенствах, функциях;
— в 8 классе число – это и рациональные, и иррациональные числа, это действительное число с его геометрической моделью;
— в 9 классе число – это действительное число на числовой прямой, на котором исследуются функции, уравнения, неравенства;
— в 10 – 11 классе число – сформированное представление о действительном числе, множестве R со свойством непрерывности, но котором развиваются элементы математического анализа.
С каждым расширением понятия числа в представлениях учащихся расширяется спектр свойств числа и операций над ними:
— на N операция «+» и «*» являются алгебраическими, справедливы коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, поразрядное сложение и умножение;
— на Z операции «+», «-», «*» являются алгебраическими, развивается теория делимости целых чисел (НОК, НОД, простые, составные числа), арифметические преобразования целых чисел;
— на Q операции «+»,«-», «*», «:» являются алгебраическими, развивается теория алгебраических преобразований рациональных выражений (обыкновенных и десятичных дробей);
— на R операции «+»,«-», «*»,«:» являются алгебраическими, на R+ — операции — алгебраическая, развивается теория приближений действительных чисел, формируется свойство непрерывности R, исследуется непрерывные элементарные функции и их графики;
— на С операции «+»,«-», «*»,«:» является алгебраическими, исследуются различные представления комплексных чисел, операции над ними, все алгебраические уравнения разрешимы, появляются многозначность извлечения корня;
Расширение используемых учащимися свойств числовых множеств имеет современную математическую трактовку:
— <N,+,*> — полукольцо
— <Z,+,*> — кольцо, упорядоченное кольцо
— <Q,+,*> — поле, упорядоченное поле
— <R,+,*> — поле, упорядоченное поле, непрерывное, архимедовское упорядоченное поле
— <С,+,*> — поле, векторное пространство размерности 2 над R.
Числовая линия как одна из самых значительных линий школьного курса математики имеет тесные связи с другими содержательно-методическими линиями:
— операции над числами, их свойства преобразуются, обобщаются до операций над буквами – алгебраических преобразований, тем самым из числовой линии выделяется линия тождественных преобразований;
— числа из разных числовых множеств (N, Z, Q, R), операции над ними выступают основой для составления, исследования уравнений, неравенств, что обосновывает связь числовой линии и линии уравнений, неравенств, систем;
— в школьном курсе алгебры и начал анализа изучаются числовые функции – отображения из R в R, их исследование фиксирует конкретные числа (точки максимума, минимума), числовые промежутки (период, промежутки монотонности), тем самым свойства функций имеют числовую основу, связывая числовую линию и функциональную линию.
Объемный характер числовой линии как по содержанию, так и по времени изучения высокая значимость понятия числа в формировании математической культуры учащихся, объясняют сопоставимость целей изучения числовой линии с целями обучения математике учащихся общеобразовательной школы.
Именно в числовой линии в значительной степени реализуются главные задачи школьного курса математики:
— овладение системой математических знаний и умений;
— формирование представлений об идеях и методах математики;
— формирование и развитие средствами математики интеллектуальных качеств личности.
На каждой из ступеней обучения программа общеобразовательного курса математики указанные задачи детализирует в виде системы последовательных целей:
— на первой ступени 5 – 6 классов в содержании «математики» основные цели – систематическое развитие понятия числа, выработка умений выполнять устные и письменные арифметические действия над числами, развитие навыков вычислений с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами;
— на второй ступени в 7 — 9 классах цель курса «Алгебра» — развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики;
На третьей ступени в 10 – 11 классах курса алгебры и начал анализа множество R является основным множеством, на котором исследуются функции и их важнейшие свойства (монотонность, периодичность, непрерывность), имеющие числовые обоснования.