Решая задачи на вычисление площади криволинейной трапеции, нетрудно убедиться, что площадь полностью определяется функцией у = f(х) и концами промежутка а и Ь. Действительно, всякая первообразная Ф (х) для функции
f (х) отличается от любой другой ее первообразной F (х) на постоянную, поэтому Ф (х) = F (х) + С, т. е.
Таким образом, любые две первообразные для функции f (х) имеют на отрезке [а; Ь] одно и то же приращение.
Приращение первообразной для функции f (х) на отрезке [а; Ь] будем называть определенным интегралом от функции
F (х) на отрезке [а; b] и обозначать 
.
По определению = F (Ь) — F (а), где F’ (х) = f (х).
Рис 75
Рис. 74
Если понятие неопределенного интеграла не вводилось, то можно не употреблять термин «определенный интеграл», а говорить просто «интеграл».
Надо сказать, что и без так введенного понятия определенного интеграла можно решать задачи на вычисление площадей, вывести нужные в школьном курсе формулы для вычисления объемов: для этого достаточно понятия первообразной. Но символом определенного интеграла пользоваться удобно (сокращаются записи), он общепринят, с ним ученики в дальнейшем могут встретиться при чтении математической литературы.
Таким образом, сначала мы предлагаем пользоваться для решения задач на вычисление площадей формулой, выражающей площадь как разность значений первообразной. Только тогда, когда на примерах ученики усвоят формулу, предлагаем перейти к использованию символа определенного интеграла. При доказательстве теоремы, что площадь криволинейной трапеции не зависит от того, какой из первообразных данной функции воспользовались для вычисления площади, полезно проделать в решенных перед этим задачах вычисления, используя различные первообразные для одной и той же функции.
В более сложных задачах, которые далее приводятся, будем использовать символ . Усложнение упражнений идет в следующих направлениях:
рис.76 
1) Функция f(х) задается, а пределы интегрирования надо найти из условия задачи (например, вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс, если парабола пересекает ось абсцисс).
2) Задаются две функции, графики которых имеют точку пересечения, и пределы интегрирования. Криволинейную трапецию приходится разбивать на части.
3) Как и в предыдущем случае, задаются две функции, но пределы интегрирования приходится находить в процессе решения задачи.
Пример. Заданы функции у = х3, у = 2 — х (рис. 74). Требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и осью абсцисс.
4) Случай, когда площадь фигуры вычисляется как разность площадей двух криволинейных трапеций (рис. 75).
5) Сочетание предыдущих случаев (рис. 76).
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами
Парабол у = х2, у = —х2 и прямой у = 4 (рис. 77).
В последней задаче полезно использовать симметрию фигуры относительно оси у.
6) Задачи, в которых данную фигуру можно расположить относительно осей координат так, чтобы можно было при вычислении площади использовать формулу для площади криволинейной трапеции.
Пример. Вычислить площадь параболического сегмента с основанием 10 см и стрелкой 6 см, если его основанием служит хорда, перпендикулярная оси параболы.
Один из способов расположения сегмента изображен на рисунке 78.
7) Случай, когда функция f (х) на отрезке [а; Ь] удовлетворяет условию f (x) 
0.
Многие из этих задач можно разбирать с учащимися на готовых чертежах с помощью кодоскопа.
Здесь либо в каждой конкретной задаче используется симметрия относительно оси х (чтобы можно было воспользоваться прежней формулой для вычисления площади), либо выводится специальная формула для случая f(x) 0, S=- , которая затем используется в конкретных задачах.
Рис 78
Очень важно соблюдать постепенность в наращивании трудности решаемых задач; тогда ученики сравнительно легко переходят от одной задачи к другой, более трудной, сами догадываются о дополнительных построениях и т. д.
Мы видели, что для решения большого числа задач, которые здесь рассмотрены, оказалось достаточно понятия определенного интеграла как приращения первообразной. Вместе с тем возможно и введение понятия определенного интеграла как предела интегральных сумм (ранее были высказаны доводы в пользу этого). При этом можно исходить из задачи вычисления площади криволинейной трапеции, как это и делается в большинстве учебных пособий. Желательно при этом отрезок оси абсцисс разбивать на части неравной длины, чтобы показать более общий прием рассуждений.