Поставим задачу найти способ для вычисления площади криволинейной трапеции (задачу ставим в предположении, что площадь существует).
Предварительно у учеников должно быть создано правильное представление о криволинейной трапеции как о фигуре, ограниченной графиком непрерывной функции, осью х и прямыми, параллельными оси у (рис. 70). В число примеров надо обязательно включать такие, где длины перпендикуляров к оси х равны нулю, а также случаи, где график функции является прямой или отрезком.
Доказывается теорема:
Теорема. Пусть f(х) — непрерывная функция, неотрицательная на отрезке [а; Ь], S — площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F(х) есть первообразная для f(х) на отрезке [а; Ь], то S = F(Ь) — F(а) (см. рис. 70).
Рис 70 Рис 71
Рис 73
Существуют различные доказательства этой теоремы.
Лучше всего выбрать способ, который носит более общий характер и удобен тем, что легко переносится на вычисление объема.
Учитывая относительную сложность доказательства, можно рекомендовать его для сильных учеников.
Выведем теперь формулу для площади криволинейной трапеции. Как одна из первообразных функции f (х) функция S (х) выражается через любую другую первообразную этой функции F (х) по
Формуле S(х) =F(x)+С.
Найдем постоянную С, используя то, что S (а) = 0. Имеем S (а) =F(а) + С, т. е. С=-F(а). Значит, S (х) = F (х) — F (а).
Отсюда S(Ь) = F(Ь) — F (а). Как выяснено ранее, S(b) — это площадь данной криволинейной трапеции. Получили формулу
S = F(Ь)-F(а), где F'(х) = f(х).
Примеры. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями, уравнения которых заданы:
1) у = х2, у = 0, х =1, х = 2;
2) у = х2 — 4х + 5, у = 0, х=1, х = 3;
3) у = 2х, х = 4, у = 0, х = 6.
Во всех этих примерах значения а и Ь даны в условии задачи, поэтому площадь вычисляется путем прямого применения формулы.
Имея в распоряжении знак неопределенного интеграла, можно было бы несколько короче записать решение задач. Например, вместо записи «Одна из первообразных функций у = х2- 4х+5 есть 
»
появится запись: 
.