Предел функции в точке
Опр. Число А Является пределом функции F в точке А, если
.
Слева справа
1. "Мы приступаем к изучению раздела математики, который называется "Математически анализ. Попытаемся объяснить, что здесь анализируют. "Анализируют"- как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения (глобальный подход), но и около конкретной точки (локальный подход). Тема сегодняшнего урока "Предел функции в точке ". "Анализ поведения функции около конкретной точки практически всегда связан с понятием предела". Поэтому тема сегодняшнего урока "Предел функции в точке".
2.Анализ поведения функций мы попробуем провести по их графикам. Поэтому начнем с Задания: Постройте графики следующих функций и выберите точки, в которых хотелось бы проанализировать поведение функции:
Функций много, поэтому выполним задание по группам:: (варианты)
3.Группы представляют свои решения (это могут быть плакаты) и называют точку, в которой, на их взгляд, стоит анализировать поведение функции.
1) "Все группы по 2-5 функции выбрали точку Х = 1, тогда и для 1-ой функции есть смысл
проанализировать поведение функции в этой же точке. Почему вы выбрали эти точки? (В этой точке что-то
происходит). Попробуйте пояснить, что происходит в каждом из случаев (слушаем ответы учащихся;
каждый ответ принимаем, потому что важно разными словами проговорить свои ощущения поведения
функции в точке)."
2) " Итак, поведение функций в точке Х = 1 во всех случаях разное. Может, около точки Х = 1 найдется что-
то общее. Проанализируйте поведение функций около точки Х = 1. (Важно найти общее не только в случаях
1-3, 4-5, но и 2-5, 3-5. Если учащиеся будут затрудняться, то можно рекомендовать им обратиться к старому
способу работы по графику: Особенности графика, а, значит, функции можно почувствовать, передвигаясь
по нему; так было, например, при исследовании на монотонность. Важно, чтобы учащиеся сказали: когда
движемся к Х = 1 слева, а потом — справа, то графики функции встречаются в одной точке). Каковы
координаты этой точки? (Учащиеся для случаев 1-3 называют (1, 3), а для случая 5 — (1, 0)). Обладает ли тем
же свойством график функции в 4-ом случае?
3) Раскроем это свойство в более точных терминах. Как иначе
можно сказать "движемся к" ("приближаемся",…). А если хотим быстро приблизится, то говорят, что мы….
стремимся. Про себя все понятно, теперь о функциях. Любое свойство функции в своей формулировке ведет
речь об аргументах и значениях функции, например, при х > 2 функция возрастает и т. д. Попробуйте
описать в этих терминах обнаруженное свойство функций (при Х, Стремящемся к 1 слева, и Х, Стремящемся к
1 справа, значения функции стремятся к одному и тому же числу).
4) Опишем эту ситуацию с помощью математических символов. Как записать слова: при Х, Стремящемся к 1, F(Х) стремится к какому-то числу? limF(X) = С. Есть знаки, как указать, что Х Стремится к 1
Слева (например, Х —>1-0), но мы укажем словами: 
(говорят: левосторонний предел функции при X, стремящемся к 1, равен С). Как записать слова: при Х, Стремящемся к 1 справа,
Значения функции стремятся к тому же числу?………………………………………. Тогда как можно записать обнаруженное свойство?……………………………………………….
Осталось дать свойству название. Говорят, что функция имеет в рассматриваемой точке предел. Число С Называют пределом функции в рассматриваемой точке.
5) Проанализируем определение (оно может быть заранее записано на доске). Чем отличается запись в определении от той, что была у нас? (учащиеся называют отличия: вместо 1 записано число А, Вместо С — Число А, вместо двух равенств записано общее равенство). Выделим в этом определении признаки, по которым можно будет судить о пределе функции в точке (предел функции — это число, это число равно левостороннему пределу, это число равно правостороннему пределу функции). А как вы по графику определите, имеет ли функция предел в заданной точке? (найдем левосторонний предел, найдем правосторонний предел и сравним их).