Методические трудности данной темы. Применение производной к исследованию функций, построению графиков, решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений — важнейший раздел темы «Производная и ее применения». Материал этой темы используется при изучении многих классов функций: тригонометрических, показательной, логарифмической и др. Он имеет также очень большое прикладное значение и играет большую роль в установлении межпредметных связей (в особенности с курсом физики).
Заметим, что изучение применения производной к исследованию функций вызывает большие методические трудности, чем введение производной. Они возникают в связи с тем, что здесь сложнее логическая структура материала; в конечном счете основной факт для построения всей необходимой части теории — теорема о том, что непрерывная на отрезке функция принимает на нем наибольшее и наименьшее значения,— не входит в рамки школьного курса математики в силу большой своей сложности.
Возникает методическая задача отбора необходимого минимума учебного материала, нахождения вариантов доказательств теорем, которые были бы доступны для учащихся, или сообщения идеи доказательства, мотивировок теорем, выбора подкрепляющих примеров и задач. Сообщаемые учащимся сведения не должны быть в процессе продолжения образования отброшены. Эта необходимость сочетания доступности и краткости изложения с отсутствием вульгаризации его и создает значительные методические трудности. Отсюда большое разнообразие подходов к изложению материала.
Различные варианты изложения темы. Рассмотрим некоторые особенности изложения данной темы в различных учебных пособиях и учебниках. Остановимся сначала на исследовании функции на возрастание и убывание.
В ряде пособий признаки возрастания и убывания функций даются без доказательства. Интересный прием для иллюстрации содержания как необходимых, так и достаточных условий возрастания и убывания функций используется в учебнике Мордковича: рассматривается координата точки, движущейся по оси в положительном направлении (функция возрастает) и в отрицательном направлении (функция убывает); скорость истолковывается как производная от координаты по времени; рассматривается связь между знаком производной (скорости) и изменением координаты точки.
В ряде пособий доказательство заменяется геометрической иллюстрацией, использующей связь между углом наклона касательной и значением производной.
В основном, однако, заметно стремление найти приемы изложения, которые сводили бы недосказанные факты к минимуму. Из этих приемов отметим те, которые основаны на использовании теоремы Лагранжа, принимаемой без доказательства (в ее геометрической интерпретации).