Учебная математическая деятельность учащихся — специфическая по системе объектов, видам и способам деятельности:
— объектами деятельности выступают абстрактные понятия ( числа, функции, многочлены, уравнения, неравенства, фигуры, преобразование ит.д..), формулы, теоремы;
— в деятельности разделяются исполнительские содержательные действия и действия понятийно-дедуктивного плана, управляющие и обосновывающие исполнение (решение уравнений, неравенств, доказательство теорем, построение фигур, исследование функций);
— деятельность характеризуется различными уравнями обобщения, различными этапами ее сформированности у субъекта (выполнение конкретного примера и его обобщение на класс однородных примеров, действие записи примера обобщается до действий во внешней речи через понятия, комбинации мыслительных действий).
В рамках различных теоретических концепции обучения , математическая деятельность характеризуется соответствующей системой понятий, различными средствами анализа и обоснования процесса учения, обучения.
1. В деятельностной теории учения, деятельность характеризуется ее психологической структурой (потребности, мотивы, цели)и связанной с ней системой действий, операции разного уровня сформированности.
2. В когнитивной теории обучения фиксируются модели мыслительной деятельности, выделяются индивидуальные познавательные стили, проектируется система внутренних интеллектуальных структур.
3. В классической содержательной теории обучения математике процесс обучения проектируется исходя из конкретного математического содержания и доводится до определенной методики его усвоения учащимися.
Ключевыми понятиями содержательной теории выступают знания, умения и навыки учащихся в определенной математической деятельности.
Знание, как категория содержательной теории, характеризует степень усвоения учащимися математического объекта, системы объектов (определение понятия, характеристика преобразования, формулировка теоремы, запись формулы и т.д.). Особенность знания как категории данной теории- наличие фактологического содержания в статике, вне связанной со знанием деятельности.
Схема формирования знания как правило эмпирическая:
восприятие ? представление ? понятие.
В отсутствие критериальных признаков знание оцениваются качественно, вне порядковой шкалы.
Умение – категориальная характеристика действия учащегося на пути его формирования. Поскольку действия учащегося связанны с математическими объектами, то умение и знания взаимосвязаны.
В перечне характеристик умения выделяются:
— это внутренняя характеристика учащегося;
— оно связанно с конкретной деятельностью, действием;
— предполагает наличие плана выполнения действия, имеющегося во внутреннем плане учащегося;
— внутренний план действия обобщен на класс математических объектов, представлен учащемуся в системе знаний;
— реализации внутреннего плана действий может осуществляться под контролем сознания учащегося.
Итак, умение – характеристика сформированности действия у учащихся, фиксирующая наличие обобщенного внутреннего плана выполнения действия, представленного в системе знаний и осуществляемого под контролем сознания.
Пример. Умение исследовать арифметическую прогрессию.
С умением связаны знания: определение прогрессии, разности прогрессии, формулы n-го члена, характеристического свойства членов, формулы суммы первых n- членов прогрессии.
Умение имеет собственную структуру умений (детализирующих)
— умение характеризовать члены прогрессии;
— умение находить разность прогрессии;
— умение использовать характеристическое свойство прогрессии;
— умение исследовать сумму k членов прогрессии.
Общая характеристика умения может быть представлена в виде схемы.
-
Умение действия = Внутренний обобщенный операционный план действий Система умений + выполнения каждой из операций
В учебном процессе через содержание уроков, разделов, тем по математике реализуется задача формирования системы умений.
В системе умений выделяются:
1. Общеучебные умения;
2. Содержательные умения (предметных действий);
3. Интеллектуальные умения.
В каждом из подклассов умений их характеристики реализуются с определенной спецификой, однако их перечень является общей закономерностью умений каждого класса.
I. Общеучебные умения – те общие умения, которые формируются в системе учебных дисциплин (математике, физике, химии), обеспечивают учебный процесс в целом.
На каждой возрастной группе учащихся состав общеучебных умений свой.
Для учащихся старшего звена в качестве общеучебных умений выступают:
— умение выделить систему необходимых (существенных) признаков понятия;
— умение подвести объект под понятие;
— умение выводить следствие из принадлежности объекта понятию;
— умение выделять причину и следствие в условных предложениях;
— умение выделить главные факты, зависимости в содержании темы, главы и т.д.
Особенность умений данного подкласса – их аналоговый характер представленности учащемуся в различных дисциплинах, интуитивная сформированность внутреннего плана действия, разделенность умения различными дисциплинами.
Формирование общеучебных умений возможно лишь в условиях соглашения авторов учебников, учителей о целенаправленном их формировании средствами каждой из дисциплин.
II. Содержательные умения характеризуются спецификой действий учащихся с математическими объектами. Наиболее значимыми математическими умениями выступают:
— умение доказывать или опровергать теорему, свойство;
— умение исследовать функцию;
— умение решать уравнение, систему уравнений, неравенство стандартными методами;
— умение реализовать модельный подход в решении задач;
— умение построить геометрическую фигуру конкретным набором инструментов;
— умение вычислить неизвестные элементы фигуры по известным данным;
— умение применить преобразование плоскости для решения задачи;
— умение использовать метод координат в решении задачи и т.д.
Выделенные содержательные умения структурируются составляющими их умениями. Фактически перечень умений и их структура отражают структуру всей математической учебной деятельности учащихся.
Для класса содержательных умений в наибольшей степени разработаны требования к ним, методика их формирования.
Перечень требований к формируемым умениям:
— отдельная отработка каждого умения (операции), входящего в структуру;
— формирование внутреннего плана действия на всех уровнях его становления, доведение до внутренней обобщенной формы;
— доведение внутреннего плана либо до уровня алгоритма, либо до уровня обобщенной схемы в зависимости от целей деятельности.
Методика формирования умений содержательного плана отражает закономерности поэтапного формирований действия:
— мотивационный;
— выделение ориентированной основы действия (знаний, последовательности действий);
— формулировка плана действий и его алгоритмизация или обобщение;
— усвоение действия на материализованном, внешнеречевом, внутреннем уровнях.
Заметим что детализация плана действия до уровня алгоритма преследует и более глубокую, чем содержательный уровень, цель- превращение алгоритмизации действий в общеучебное умение – т.е. формировать алгоритмическую культуру.
III. Подкласс интеллектуальных умений также в определенной степени относится к системе общеучебных умений, но их формирование в наилучшей степени связано с логико-дедуктивным характером математики.
Предельно абстрактный характер интеллектуальных умений, их обобщенность позволяет характеризовать умения в качестве методов познания.
- Основные интеллектуальные умения:
— сравнение и аналогия;
— анализ и синтез;
— обобщение и абстрагирование;
— классификация и систематизация;
— индукция и дедукция.
Сравнение — мысленное установление сходства и различия у объектов определенного класса.
Аналогия – мысленный перенос нового свойства одного объекта на другой объект при наличии у объектов каких-либо общих свойств.
Анализ – мысленное расчленение объекта на составные части с их последующим изучением.
Синтез – мысленное системное объединение частей в целое с позиции выделения новых качеств, свойственных целому.
Обобщение – мысленное выделение свойств, общих для класса объектов, фиксация класса.
Абстрагирование – мысленное отвлечение от несущественных свойств объекта в условиях конкретной деятельности для целей определенного обобщения.
Классификация – мысленное разделение класса объектов на подклассы по определенному признаку.
Систематизация – мысленное построение иерархии подклассов отдельного класса объектов в рамках их взаимных связей и зависимостей.
Индукция – мысленная гипотеза по переносу свойства, которым обладает часть объектов класса, на все объекты класса.
Дедукция – логическое выведение определенного свойства у объектов данного класса из совокупности других свойств.
Главная особенность интеллектуальных умений – не только план действия находится во внутреннем плане учащегося, но и само действие для учащегося является внутренним, контроль действия сознанием осуществляется на уровне рефлексии мыслительного действия – чрезвычайно сложным для учащегося образом. В отсутствие у учащегося названий каждого из интеллектуальных умений, их характеристик, плана формирования таких умений, осуществляется на интуитивном уровне, в условиях воспроизводящей деятельности.