Схема изучения любых числовых систем:
- Введение. Запись и чтение числа.
- Сравнение чисел.
- Действия.
- Законы действий.
I. На этапе введения новых чисел рассматриваем:
а) мотивацию изучения новых чисел.
Мотивация может быть:
- арифметической (натуральные числа появились при счете предметов);
- геометрическая (дробные числа возникают при разбиении геометрической фигуры или предмета на равные части);
- измерительной (десятичные дроби требуются, когда мерка не укладывается целое число раз, поэтому ее разбивают на 10 равных частей);
- алгебраической (отрицательные числа возникают при решении уравнения , );
б) чтение и запись новых чисел. Здесь наибольшая трудность возникает при изучении обыкновенных и десятичных дробей. В первом случае нужно разъяснительная работа, объясняющая смысл числителя и знаменателя. Продумать и организовать работу по правильному прочтению числителя. Для облегчения чтения десятичных дробей удобно использовать разрядную таблицу;
в) изображение новых чисел на числовом прямой. Впервые с таким изображением ученики сталкиваются при изучении натуральных чисел, а затем повторяем умение изображать числа в течение всего курса изучения новых числовых систем;
г) при введении новых чисел следует выделять как общие (существенные), так и частные (несущественные) признаки этих чисел. Так наличие « , » дробление каждой разрядной единицы на десять равных частей — это существенные признаки десятичных дробей, а количество знаков после запятой или отсутствие целой части это не существенные.
д) для лучшего понимания и усвоения новых чисел нужна работа по представлению этих чисел на разных языках: словесном (определение), символическом (запись), образном (по геометрической картине или разрядной таблице суметь записать число), предметом (отрежьте 0.5 пластинки);
е) показать связь новых чисел со старыми.
II. При изучении сравнения, рассматриваются как общие способы сравнения, так и частные. К общим способам сравнения относятся:
1) способ сравнения чисел с помощью числовой прямой;
2) сравнение чисел через их разность.
К частным случаям сравнения относятся те специальные правила, которые сформулированы в школьных учебниках.
При изучении сравнения нельзя забывать вопрос о равенстве чисел.
III. Особое внимание при введении операций уделяем «сложению» и «умножению», так как смысл этих операций раскрывается не через определение. «Вычитание» и «деление» при изучении любых числовых систем, рассматриваются как операции, обратные к «сложению» и «умножению».
При изучении операций надо придерживаться следующей последовательности шагов:
1) мотивация;
2) составление алгоритма;
3) обоснование алгоритма;
4) отработка отдельных шагов;
5) рассмотрение всех частных случаев и частных ситуаций;
6) специальная работа по предотвращения ошибок;
7) обучение контролю при вычислении той или иной операции;
8) закрепление.
На этапе мотивации предлагается задача, которая не только показывает необходимость изучения операции, но и разъясняет ее смысл. Так при изучении умножения десятичных дробей показываем, что старое определение умножения через сложение, как это было при изучении умножения натуральных чисел, уже не годится. Смысл умножения 0,3 на 0,4 можно показать через нахождение площади прямоугольника, со сторонами 0,3 дм и 0,4 дм.
На этапе введения алгоритма решают поставленную на 1-ом этапе задачу, переведя новые числа в старые, так задача про прямоугольник может быть решена не в дм, а в см, т.е. мы свели задачу к натуральным числам. Полученный результат переводят в новые числа и стараются подметить закономерность перехода от условия к заключению без обращения к старым числам. В рассмотренном примере ставится проблема, как получить 0,12, используя 0,3 и 0,4. Заканчивается эта работа формулировкой алгоритма выполнения нужного действия. Все алгоритмы начинаются со слова «чтобы».
На этапе обоснования определяют те математические утверждения, которые лежат в основе рассматриваемого алгоритма.
Этап отработки отдельных шагов алгоритма определяется методикой формирования умений. Задача учителя – выделить те шаги, которые стоит только повторить, так как они были сформированы ранее, и те шаги, которые следует специально отработать. Так при изучении умножения десятичных дробей предлагаются упражнения, где известны множители, а произведение записано без « , ». Ученикам следует определить, где поставить « , » и почему. Удобно предлагать и обратные задания, когда « , » потерялась в множителях.
На этапе рассмотрения частных случаев основная цель состоит в усвоении последовательности шагов алгоритма, демонстрации всего поля применения алгоритма. Например, стоит продемонстрировать усовершенствованные алгоритмы: правило умножения на 10,100,1000, на 0,1; 0,01; 0,01…
На этапе специальной работы по предотвращения ошибок учитель на специальных упражнениях учит находить ошибки в выполнении той или иной операции, объясняет причину их возникновения. Очень полезно каждому учителю иметь справочник типичных ошибок.
На этапе обучения контролю учитель предлагает задания, обучающие ученика различным способам контроля, обобщает полученные результаты, выделяя эти способы контроля. Так при выполнении операции для проверки пользуются обратными операциями, прикидкой результатов, проверкой результатов по смыслу.
На этапе закрепления используют упражнения для тренажа (дидактические игры); упражнения дифференцированного характера (по сложности); обязательно решаются текстовые задачи с использованием изученной операции.
IV. К законам действий относятся сочетательный, переместительный и распределительный законы. К свойствам действий относятся специальные правила, например, как вычесть из числа сумму 2-х чисел.