Тождественные преобразования — Часть 1

Теоретической основой линии тождественных преобразований выступают понятия:

а) Два выражения (теорема) f(x1,x2, ..xn) и g(x1,x2, ..xn) называются тождественно равными на множестве М, если для любого набора (а1,а2,…,аn)∈М справедливо равенство

F(а1,а2, ..аn) G(а1,а2, ..аn)

б) Равенство f(х1,х2, ..хn) G(х1,х2, ..хn) двух тождественно равных на М выражений называется тождеством на М.

Наиболее часто встречающимися выступают случаи:

— тождественно равных выражений f(x) и g(x) от одной переменной;

— тождественно равных выражений f(x1,х2) и g(x1,х2) от двух переменных;

— В качестве М выступает либо R, либо RxR, либо область определения выражений f(x1,x2, ..xn) и g(x1,x2, ..xn).

в) замена (в уравнении, неравенстве, функции) выражения f(x1,x2, ..xn) тождественно равным ему выражением g(x1,x2, ..xn) называется тождественным преобразованием выражений.

Пример. В уравнении

(х+3)(х-3)+х(х+10)+21=0

Выражение (х-3)(х+3) заменяем тождественно равным ему выражением х2-9, выражение х(х+10) – тождественно равным ему выражением х2+10х. Тождественное преобразование выражения приводит к новому уравнению

Х2-9+ х2+10х+21=0.

Выражение х2+ х2тождественно равно выражению 2х2. Это тождественное преобразование приводит к уравнению 2х2+10х+12=0.

Заметим, что Функциональная трактовка тождественно равных выражений в математике

Не проверяется в силу бесконечности значений переменных. Выход из такого противоречия состоит в перечне тех конкретных типов преобразований, которые являются тождественными и которые используются в явно определенном классе уравнений, неравенств, функций.

Основные виды тождественных преобразований выражений в курсах математики, алгебры, алгебры и начал анализа представлены в таблице в соответствии с программой.

Учебный предмет, класс

Виды тождественных преобразований.

Математика, 5-6 классы.

1.Простейшие преобразования выражений; раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.

Алгебра, 7-9 классы.

2.Разложение многочленов на множители.

Wide Image