Теоретической основой линии тождественных преобразований выступают понятия:
а) Два выражения (теорема) f(x1,x2, ..xn) и g(x1,x2, ..xn) называются тождественно равными на множестве М, если для любого набора (а1,а2,…,аn)∈М справедливо равенство
F(а1,а2, ..аn) 
G(а1,а2, ..аn)
б) Равенство f(х1,х2, ..хn) G(х1,х2, ..хn) двух тождественно равных на М выражений называется тождеством на М.
Наиболее часто встречающимися выступают случаи:
— тождественно равных выражений f(x) и g(x) от одной переменной;
— тождественно равных выражений f(x1,х2) и g(x1,х2) от двух переменных;
— В качестве М выступает либо R, либо RxR, либо область определения выражений f(x1,x2, ..xn) и g(x1,x2, ..xn).
в) замена (в уравнении, неравенстве, функции) выражения f(x1,x2, ..xn) тождественно равным ему выражением g(x1,x2, ..xn) называется тождественным преобразованием выражений.
Пример. В уравнении
(х+3)(х-3)+х(х+10)+21=0
Выражение (х-3)(х+3) заменяем тождественно равным ему выражением х2-9, выражение х(х+10) – тождественно равным ему выражением х2+10х. Тождественное преобразование выражения приводит к новому уравнению
Х2-9+ х2+10х+21=0.
Выражение х2+ х2тождественно равно выражению 2х2. Это тождественное преобразование приводит к уравнению 2х2+10х+12=0.
Заметим, что Функциональная трактовка тождественно равных выражений в математике
Не проверяется в силу бесконечности значений переменных. Выход из такого противоречия состоит в перечне тех конкретных типов преобразований, которые являются тождественными и которые используются в явно определенном классе уравнений, неравенств, функций.
Основные виды тождественных преобразований выражений в курсах математики, алгебры, алгебры и начал анализа представлены в таблице в соответствии с программой.
|
Учебный предмет, класс |
Виды тождественных преобразований. |
|
Математика, 5-6 классы. |
1.Простейшие преобразования выражений; раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. |
|
Алгебра, 7-9 классы. |
2.Разложение многочленов на множители. |