Развитие понятия числа в курсе математике (продолжение)

Развитие содержание числовой линии в среднем и старшем звене общеобразовательной школы зафиксируем в виде таблицы.

Класс Авторский учебник	Основные виды деятельности учащихся
5 класс «Математика» Н. Я. Виленкин и др. N Q	1. Систематизация и обобщение сведении о натуральных числах; 2. Закрепление и развитие навыков сложения и вычитания натуральных чисел; 3. Закрепление навыков арифметических действий с натуральными числами, использования признаков делимости. 4. Ознакомления с понятием обыкновенной дроби. 5. Выработка умений чтения, сравнения, округления, операций с десятичными дробями. 6. Выработка умений действий над десятичными дробями с помощью микрокалькулятора
6 класс Математика Н. Я Виленкин и др. Z Q	1. Расширение представлений о числе путем введения отрицательных чисел (модуль целого числа, прямая как геометрический образ числового множества). 2. Выработка, навыков арифметических действий над целыми числами. 3. Формирование теории делимости в множестве Z. 4. Выработка навыков действий с обыкновенными дробями.
7 класс Алгебра Ю. Н. Макарычев и др. N Q Z	1. Основные числовые множества N, Z, Q выступают средой, в которой изучаются новые математические объекты – функция, уравнения, неравенства. 2. Формирование степени числа, операции над степенями в числовой и буквенной формах. 3. Исследование нового объекта – пары чисел как точек графика, решения уравнения с двумя переменными.
8 класс Алгебра Ю. Н. Макарычев Q R	1. Систематизация сведений о рациональных числах, их приближенные вычисления с помощью микрокалькулятора. 2. Формирование представлений об иррациональных числах в рамках графических интуитивных представлений. 3. Графическое представление действительных чисел. 4. Формирование умений приближенных вычислений иррациональных чисел посредством рациональных десятичных дробей. 5. Становление умений преобразования числовых выражений с иррациональностями. 6. Выделение числовых промежутков на R как решений линейных неравенств с действительными числами. 7. Фиксация невозможности извлечения корней из любых действительных чисел.
9 класс Ю. Н. Макарычев Алгебра Уравнения, неравенства на R Функции на R	1. Формирование интуитивных представлений о непрерывности числовых функций на базе непрерывности множества действительных чисел. 2. Расширение спектра уравнений, неравенств, решаемых на множестве действительных чисел. 3. Расширение спектра числовых функций и совокупности их свойств на множестве действительных чисел. 4. Формирование новых числовых объектов – арифметической и геометрической прогрессии, включая бесконечную геометрическую прогрессию. 5. Становления нового геометрического изображения множества R – числовой окружности.
10 класс Алгебра и начало анализа А. Н. .Колмогоров	1. Формирование взаимной связи двух основных моделей R – единичной окружности и числовой прямой на координатной плоскости. 2. Расширение спектра действительных функций и их свойств в виде общей схемы исследования. 3. Формирование предельного перехода на множестве действительных чисел при введении понятия производной, вычисления производной функции. 4. Формирование графических представлений на координатной плоскости в исследовании геометрического смысла производной, построении асимптот.
11 класс Алгебра и начала анализа А. Н. Колмогоров	1. Введение новых понятий на множестве R: логарифм числа, степень с рациональным показателем. 2. Исследование на R новых классов функций: логарифмической и показательной. 3. Исследование новых классов уравнений и неравенств на множестве R действительных чисел.

В научном развитии понятия числа в математике явно выражены два этапа:

— этап содержательного развития числовых множеств, когда в новом числовом множестве появляются дополнительные возможности математических исследований;

— этап аксиоматического (содержательного и формального) построения теории числовых множеств в рамках анализа оснований математики.

На этапе содержательного развития понятия числа множество Z целых чисел исследуется как кольцо в котором развиты теории делимости, целочисленных решений уравнений.

Поле рациональных чисел являлось наименьшим полем, включающим Z, содержащим представление рациональных чисел в виде двух важнейших видов дробей – обыкновенных и десятичных.

Поле действительных чисел возникает из несоизмеряемости диагонали квадрата со стороной равной единицей, свойством непрерывности фундаментального плана, несчетности и линейной упорядоченности.

Поле комплексных чисел возникает из решения уравнения , возможности решения любого уравнения n-ой степени, извлечения корней n-ой степени из любого числа. Поле C выступает и векторным пространством размерности 2 над полем R, что дает направление доказательству теоремы Фрабениуса о конечности цепочки расширений числа , где К – тело кватернионов, Н – алгебра Кэли.

Аксиоматическая теория числа, развитая в 18 – 20 веках имеет, строгую логическую основу и глубокие математические результаты (теоремы К. Геделя), до сих пор олицетворяющие здание современной математики.

В методике обучения математики имеются неудачные попытки строить в школьном курсе математики «современные» аксиоматические теории числа:

— натуральные числа излагать с позиции аксиом Пеано;

— действительные числа строить в соответствии с теориями Дедекинда, Вейерштрасса или Кантора.

Однако такой подход является чрезвычайна трудным даже в условиях вузовского математического образования в силу чрезвычайной глубины математических идей, методов, результатов.

Наиболее предпочтительной и разделяемой многими методистами является методика введения числовых множеств исходя из следующих идей:

А) математической необходимости расширения понятия числа для исследования определенного класса математических задач;

Б) опорой на наглядные свойства чисел конкретного множества, его числовую модель;

В) исследуются не только собственно числовые множества, но и те классы уравнений, неравенств, функций, которые на данном множестве проявляются в наилучшем виде;

Г) формируются устойчивые представления о числовых множествах и тех задача математики, которые на них исследуются;

Д) система формально-оперативных преобразований в каждом числовом множестве формирует математическую культуру учащегося, — его математический язык.