5. точки экстремума функции и их вычисление с помощью производной
6. общая схема исследования функции
7. ограниченность обратных тригонометрических функций
В методике развития функционально – графической линии наиболее важными выступают следующие задачи:
1. Формирование понятия функции, ее классов может осуществляться лишь постепенно в целостном единстве общих понятий и конкретных свойств. При этом существенно меняется место и роль графических представлений: от выделения свойств функции, исходя из визуальных графических представлений, осуществляется переход к взаимному преобразованию аналитического выражения функции и ее графика и, затем, построение графика выступает итоговым результатом аналитического исследования свойств функции.
2. Система понятий, связанных с ними классов функций, их свойств изучаются не сами по себе, не в изоляции от других математических объектов и методов. Более того, свойства класса функций уточняются, осознаются лишь в процессе исследования уравнений, неравенств соответствующего класса, прикладных физических и геометрических моделей. При всей значимости собственно функциональных результатов, все же главная цель функционально – графической линии — интегрирующая математику во всех ее современных направлениях развития.
3. Наибольшую методическую трудность составляет формирование понятий композиции функций и обратной функции. Понятие функции как “числового аналитического соответствия” не выводит на математически точные и интуитивно осознаваемые понятия сложной, обратной функции. В этой связи упор делается на аналитические представления, графическую визуализацию свойств. Подлинно функциональные закономерности остаются вне формирования.
4. В условиях формирования понятия функции в форме числового аналитического соответствия общая схема исследования аналитических функций выступает главным результатом функционально – графической линии, хотя последующего развития в математике не имеет.
5. Новые аспекты функционально – графической линии появляются в становящейся вероятно — статистической линии: появляются дискретные функции (вероятность событий; математическое ожидание и дисперсия, формула Бернулли), интерес представляют не столько свойства функций, сколько их вероятностная трактовка, интерпретация. Не функциональные, корреляционные зависимости лишь подчеркивают наличие большего разнообразия зависимостей, чем просто функциональная. Этот факт в мировоззренческом плане является чрезвычайно важным.
6. Интегрирующий характер функционально – графической линии проявляется не только в ее охвате числовой линии, линии преобразований, линии уравнений, неравенств, систем. Ее последующее развитие осуществляется неразрывно с понятиями Производной, первообразной, связанными с ними дифференциальными уравнениями, функциональными рядами, теорией функции действительной, комплексной переменных. Но это развитие происходит уже за пределами общеобразовательного курса основ математического анализа.