Элементы дифференциального исчисления в общеобразовательном курсе алгебры и начал анализа — Часть 3

Г) Функционально-графическое представление отношения приращений функции и аргумента из равенства позволяет получить уравнение касательной к графику функции в точке

Д) Фактически установленных функционально-графических представлений, операторных правил дифференцирования, геометрического представления касательной и ее уравнения оказывается достаточным для исследования прикладных аспектов производной.

Приложения производной к исследованию функции и в задачах динамики материальной точки выступают главной целью введения производной, подчеркивания ее общекультурного характера в математическом образовании учащихся.

Приложения производной к исследованию функций и в задачах физики уже не различаются использованием предельных переходов, обладают общими закономерностями в авторских трактовках и основаны на двух фактах:

— геометрический смысл производной;

— физический смысл производной.

Геометрический смысл производной устанавливается на основе функционально-графических представлений и формального определения производной: Значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Выделенная геометрическая закономерность производной позволяет установить два важнейших свойства функции:

— если производная функции на промежутке принимает положительные значения, то на этом промежутке функция возрастает; если принимает отрицательные значения на промежутке , то на этом промежутке функция убывает.